Funciones: ¿Qué es una Función? Tipos, Graficas, Definición, Racionales

El término “función”, de origen latino, posee varias acepciones; una de ellas puede entenderse como sinónimo de utilidad. Por ejemplo: “la función de mi perro es la de cuidar la casa de quienes nos quieran robar”. Es decir, es “para lo que sirve” una determinada cosa o persona. Los organismos de los seres vivos cumplen funciones vitales, entre ellas: la reproducción, la circulación, la respiración y la excreción.

En Matemática, se denomina función a la relación o vínculo existente entre dos variables: “x” (variable independiente) e “y” (variable dependiente), en la cual a cada valor de x le corresponde siempre un único valor de y. Las funciones pueden representarse por medio de tablas, diagramas de Venn, gráficos, y a veces, fórmulas. El gráfico cartesiano es un sistema ejes formado por dos rectas: horizontal (eje de las x, o eje de ordenadas) y vertical (eje de las y, o eje de abscisas).

¿Qué es una Función?

Concepto de función: introducción.

1) En una clase hay cuatro alumnos: Andrés, Beatriz, Carolina y Daniel. En resumen los llamaremos A, B, C y D. A cada alumno le asignamos un número de lista. Cada uno tendrá un número y sólo uno. No es posible que Juan tenga el número 2 y el número 15 a la vez !!! Esto no sería una función. A su vez, al número de lista 3 sólo le corresponde a una persona. Pero hay números de lista sin alumnos; sólo hay alumnos para los números 1,2 3 y 4. No hay un alumno que tenga el número 5.

funcion

2) Ahora dividimos la clase en grupos de estudio: Historia H, Geografía G y Paleontología P.

Andrés, Beatriz y Carolina prefieren H, porque estudian juntos desde siempre; a Daniel le gusta la Geografía; estudiará sólo; Paleontología no es elegida por ningún alumno. Esto también es función porque cada alumno elige un sólo grupo de estudio, aunque hay grupos de estudio sin alumnos. Lo que no puede haber es alumno sin grupos de estudio; esto es, sin correspondientes.

funcion

A cada alumno le corresponde un grupo de estudio y sólo uno. Pero ahora hay varios alumnos para cada grupo de estudio, o uno sólo, o incluso ninguno. Esto también es una función, pero es distinta a la primera. ¿Que clase de función será esta? Ya lo veremos.

3) Ahora le preguntamos a cada estudiante que sabores prefiere entre Frutilla, Durazno y Chocolate. Se permite elegir más de un sabor.

Andrés prefiere Durazno y Chocolate, Beatriz, Frutilla; a Carolina le gusta el Chocolate y a Daniel la crema.

Esto NO es una función porque hay estudiantes, aunque sea uno sólo, que prefieren mas de un sabor. Esto es, que tienen más de un correspondiente.

Además Daniel eligió la "Crema" que no es una opción valida. Es este caso Daniel no tendria correspondiente. Sólo por este motivo ya no es función.

En lenguaje matemáticos, hay elementos del conjunto de partida que tienen más de un correspondiente en el conjunto de llegada. ¿Cómo sería es esquema en este caso?

4) Ahora vamos a repartir las invitaciones para el del viernes de noche. Andrés recibe una, Beatriz otra, Carolina otra y Daniel no recibe invitaciones. Esto tampoco es función. Esto No es una función porque hay un elemento del dominio, el D, que no tiene correspondiente. ¿Te imaginás el esquema?

Definición: Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, llamados dominio y codominio, de forma tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Clasificación de funciones:

a) Una función es inyectiva si a elementos diferentes del dominio le corresponden elementos diferentes en el codominio. En los ejemplos anteriores, si a cada alumno le corresponde un número diferente, es una función inyectiva. Cuando a los alumnos les correspondía el mismo grupo de estudio, era una función no inyectiva.

b) Una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del codominio tienen algún correspondiente en el dominio. En el caso de los grupos de estudio, no es sobreyectiva porque hay un grupo de estudio, el de Paleontología, que no tiene correspondiente entre los alumnos.

Vamos ahora a verlo de otra forma, con un diagrama. Trata de responder con un "si" o un "no" en cada casillero.

Como te habrás dado cuenta, aun no habíamos visto el concepto de función biyectiva. ¿Te animás a dar una definición ?

Una función es biyectiva cuando........

Funciones y Gráficas

Vamos a ver si podemos relacionar los conceptos que vimos antes con la forma de las gráfica.

Veamos una función f, cuyo dominio es el conjunto formado por los números 1, 4 y 5. El codominio es el conjunto formado por el 2 y el 3. Y la función se define como la relación que asigna al 1 con el 3; al 4 con el 2 y al 5 con el 2 también. Esta asignación es arbitraria, "inventada". Es común que la asignación de cada elemento con su correspondiente se haga con una "fórmula" o método general, pero también puede hacerse específicamente para cada elemento, como en este caso.

La grafica, que sólo tendrá unos poquitos puntos, es:

grafica

Trata de responder:

Vamos a convenir que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.

Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6

Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"

Para graficar esta función lineal, por ser de primer grado, se puede hacer una tabla de valores. Y obtendremos una recta, como lo veremos más adelante, en el tema funcion lineal. Por otro lado, tambien puede ser que las funciones esten definidas por intervalos. Más habitualmente se llaman funciones partidas.

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Veamos un ejercicio resuelto:

f: R ——> R / f(x) = 2x-6

¿ Esta función será inyectiva ? Para investigar esto tratemos de ver si podemos elegir dos elementos del dominio distintos, esto es, dos números reales distintos tales que haciendo las operaciones 2x-6 nos pueda dar el mismo resultado. La respuesta es no. O sea que la función es inyectiva.

¿Esta función será sobreyectiva ? Para investigar esto tratemos de ver si podemos elegir algún elemento del codominio que no tenga correspondiente en el dominio. ¿ Existe algún número real que NO pueda escribirse como 2x-6 ? Por ejemplo, el número 80 está en el codominio, porque TODOS los números reales están en el codominio. ¿ existe algún número real x tal que a ese número x le corresponda el 80 ? O sea, ¿ existe x tal que 2x-6= 80 ? Y bueno, hay que resolver la ecuación 2x-6=80, y la solución es 43. ¿ Para cualquier número b siempre existe x tal que 2x-6 = b ?

La respuesta es si, porque despejando x, nos queda que x = (b+6)/2, y estas operaciones siempre se pueden hacer. Entonces la función lineal es sobreyectiva. Y como también es inyectiva, es entonces biyectiva.

Ahora podríamos ver algo sobrer el crecimiento de funciones.

Nos faltó ver el RECORRIDO: es el conjunto formado por todas las imágenes. El recorrido de g se escribe R(g).

Por ejemplo, si la función es f:f(x)=x² y el dominio son todos los reales. Cualquier numero real elevado al cuadrado será positivo o cero. Entonces el recorrido es el conjunto de los reales positivos o el cero.

recorrido

No hay que confundir el codominio con el recorrido. Veamos otro ejemplo.

En una escuela hay 10 salones numerados del 1 al 10. Mediante una función le asignamos un salón a cada niño. A Juan le corresponde el Salon 1 y a Pedro el Salón 7. Esa es la función.

El dominio es el conjunto formado por Juan y Pedro: el codominio son los 10 salones. El Recorrido son sólo los salones que tienen correspondientes; esto es, el recorrido es el conjunto formado por los salones 1 y 7.

Tipos de funciones

Una función se define como la relación entre un determinado conjunto de elementos X, denominado dominio y otro conjunto Y, llamado codominio. De manera que a cada elemento del dominio le corresponda un solo elemento de Y.

Existen distintos tipos de funciones, según las características de la expresión algebraica:

Polinómicas: son aquellas funciones que las define un polinomio. Su dominio es el conjunto de los números reales. Estas funciones son continuas, carecen de asíntotas horizontales o verticales que, de acuerdo a su grado, presentan puntos de inflexión, mínimos y máximos.

Lineal: las funciones lineales son polinómicas y se la representa gráficamente a partir de una recta y su expresión analítica es un polinomio de primer grado. Para poder graficarla alcanza con conocer dos de sus puntos. En estas funciones, su margen es el conjunto de los números reales.

Constante: estas funciones se representan gráficamente con una recta horizontal, paralela el eje de las abscisas. En estas funciones, cada vez que se incrementa x en una unidad, su resultado no aumenta. Su dominio son los números naturales.

Cuadráticas: son funciones polinómicas de segundo grado y su representación gráfica es siempre una curva que se la conoce bajo el nombre de parábola. Las raíces de esta clase de función son aquellos valores de X cuya expresión es cero, gráficamente, donde la parábola corta el eje de X. Si a es mayor a cero, la parábola es cóncava, si es menor a cero, será convexa.

Racional: una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. El dominio de este tipo de funciones es el conjunto de los números reales, excepto por aquellos que anulen al denominador.

Exponencial: en este tipo de variables, la base de la potencia es constante mientras que el exponente la variable. El dominio de estas funciones son el conjunto de números reales.

Gráficas de funciones usuales

1. INTRODUCCIÓN

En la entrada anterior hablé sobre la gráfica de funciones polinómicas. En esta seguiré la misma línea sólo que el denominador común de todas estas funciones será la frecuencia con que uno se encuentra con ellas.

2. FUNCIÓN MÓDULO

El módulo o valor absoluto se define así:

\displaystyle {|x| = \left\{ x \qquad si \; x \geq 0 \atop -x \qquad si \; x < 0\right.}

Es decir, el módulo “vuelve positivo” al número. Así, 6 es el valor absoluto tanto de 6 como de -6. Este concepto está relacionado con la idea de medida: la distancia del 0 al 6 es la misma que la del 0 al -6:

Ahora ya podemos definir a la función módulo:

\displaystyle {y = |x| = \left\{ x \qquad si \; x \geq 0 \atop -x \qquad si \; x < 0\right.}

Como vemos, se trata de una función por partes (o a trozos): la fórmula que describe a y es distinta según el valor de x elegido. En este caso tenemos dos rectas:

  • Si x \geq 0 entonces y = x

  • Si x < 0 entonces y = -x.

Graficando a ambas queda el gráfico del módulo:

Como puede verse, la función módulo no es inyectiva (puede verse, por ejemplo, que y(1) = y(-1) ) ni, por tanto, biyectiva.

Ejemplo 2.1: Graficar y = |x - 1| + |x|

En este ejercicio tendremos que ser astutos para sacarnos de encima el módulo. Así que empecemos aplicando la definición de módulo tanto a |x-1| como a |x|:

\displaystyle {|x-1| = \left\{ x-1 \qquad si \; x-1 \geq 0 \atop -(x-1) \qquad si \; x-1 < 0\right.}

\displaystyle {|x| = \left\{ x \qquad si \; x \geq 0 \atop -x \qquad si \; x < 0\right.}

Como podemos prever, este ejercicio se va a desglosar en varios casos distintos (que es lo molesto de trabajar con módulos):

Caso 1:

Si x-1 \geq 0 entonces x>1, así que x>0 y habrá que graficar a y = x-1 + x = 2x - 1

Caso 2:

Si x-1 < 0 entonces x < 1. Por lo que pueden ocurrir dos cosas: que 0 < x \leq 1 o que x < 0 .

  • Si 0 < x \leq 1

  • Si x<0 entonces y = -(x-1) - x = -x+1-x = -2x+1

Finalmente, juntamos todo en un solo gráfico y listo:

Ejemplo 2.2: Graficar y = | x^2 - 1 | (módulo de grado 2)

La función  es una cuadrática de coeficiente principal positivo y con raíces -1 y 1. Su gráfico es

Como el módulo volverá positivas a las y negativas, el gráfico de y = |x^2-1| será el siguiente:

3. FUNCIÓN PAR

Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad (no ser pares ni impares). Una función par es cualquiera que cumpla con

f(x) = f(-x) \; \forall x \; \in \; Dom(f)

Por ejemplo, y = x^2 e y = |x| son claramente funciones par. Si bien el gráfico depende de cada función en particular, esta siempre será simétrica respecto al eje y.

4. FUNCIÓN IMPAR

Es cualquier función que cumpla con

f(-x) = -f(x) \; \forall x \; \in \; Dom(f)

El gráfico de estas funciones siempre será simétrico respecto al origen de coordenada, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen. Algunos ejemplos son las funciones y = x e y = x^3.

5. FUNCIÓN RAÍZ

Es de la forma

y = \displaystyle{\sqrt[n]{x}}

El gráfico de la función dependerá principalmente de la paridad de n.

Caso 1: n  par

En este caso x debe ser necesariamente positivo, por lo que también lo será y (al menos que se esté trabajando con números complejos). La forma general de esta función es la siguiente

  • En azul: y = \sqrt{x} (función raíz cuadrada)

  • En rojo: y = \sqrt[4]{x}

  • En verde:  y = \sqrt[8]{x}

Caso 2: n impar

En este caso tanto x como y pueden adoptar valores negativos. Sin embargo, si quieres graficar estas funciones con tu calculadora o software favorito, entonces sólo te dará el gráfico para x \geq 0. Esto se debe a los trucos de programación utilizados en los códigos de estos programas. Así que ya saben: antes dudas, consulten un libro en lugar de la calculadora. El gráfico verdadero de la función raíz de n  impar es

  • En azul: y = \sqrt[3]{x} (función raíz cuadrada)

  • En rojo: y = \sqrt[5]{x}

  • En verde:  y = \sqrt[9]{x}

6. FUNCIÓN HOMOGRÁFICA

Es de la forma

y = \frac{1}{x}

 Como x \neq 0 e y \geq 1, la función nunca pasa por las rectas x=0 e y =0, pero, sin embargo, se aproxima indefinidamente a ellas. Este tipo de rectas, a las cuales las funciones se aproximan ad infinitum pero nunca alcanzan, se llaman asíntotas.

7. FUNCIÓN EXPONENCIAL

Es de la forma

y = a^x

En donde a es un número real positivo. Sin embargo, la forma más frecuente en que aparece la función exponencial involucra al número de Euler e = 2,71821828…, y es

y = e^{x}

Como puede verse en la imagen, esta función no tiene raíces y es biyectiva.

8. FUNCIÓN LOGARITMO

El logaritmo de a en base b es la potencia c a la que hay que elevar b para que me de a. Es decir:

log_b(a) = c \Longleftrightarrow b^c = a

Por lo que el logaritmo es lo contrario a la exponenciación. (Si c=10 entonces no hace falta escribirlo: log_{10}(a) = log(a) ). El logaritmo natural o neperiano es aquél en que la base c vale e

ln(a) = b \Longleftrightarrow e^b = a

Ejemplo 8.1: Despejar la x en 4^x = 16.

4^x= 16 \Rightarrow log_4(4^x) = log_4(16) \Rightarrow x = 2

Ejemplo 8.2: Despejar la x en ln(x) = 8.

ln(x) = 8 \Rightarrow e^{ln(x)} = e^{8} \Rightarrow x = e^8

La función logaritmo tiene la forma general

y = log_c(x)

Pero lo más común es encontrase con el logaritmo decimal (y = log(x)) o con el neperiano (y = ln(x)):

  • En azul: y = ln(x)

  • En rojo: y = log(x)

Definición de Función

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes, quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:

→ Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.

La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.

→ El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

funciones racionales

Introducción

En esta unidad continuaremos el estudio de las funciones y en particular las funciones racionales y las funciones con radicales. Se analizará su comportamiento dando relevancia a su dominio, su rango y para las funciones racionales, los puntos de ruptura y además se verificará la relación de dichos puntos con las asíntotas verticales. Para tal efecto iniciamos con el planteamiento de fenómenos en los que se involucran funciones racionales.

Cuando se habla de una modelo matemático para un fenómeno del mundo real, se refiere a una función que describe por lo menos de manera aproximada la dependencia de una cantidad física de otra. Por ejemplo:

  • La ley de Boyle dice que cuando una muestra de gas se comprime a una temperatura constante, la presión del gas es inversamente proporcional al volumen del mismo.

  • El número de días que se necesitan para completar un trabajo varía inversamente con el número de hombres que trabajan en él, si lo hacen con igual rapidez.

  • La base de un triángulo de área constante varía inversamente con su altura.

  • El volumen de un gas a temperatura constante varía inversamente con su presión.

  • La presión es inversamente proporcional a la altura.

  • La temperatura a la que hierve el agua varía inversamente con el número de metros sobre el nivel del mar.

  • La fuerza necesaria para levantar una roca varía inversamente con la longitud de la palanca usada.

  • La iluminación de un objeto varía inversamente con el cuadrado de la distancia de la fuente luminosa al objeto

  • El volumen de un gas varía directamente con la temperatura e inversamente con la presión.

  • La resistencia eléctrica de un cable varía directamente con su longitud e inversamente con el cuadrado de su diámetro.

  • La ley de gravitación de Newton dice que dos objetos con masas m1 y m2 se atraen entre sí con una fuerza que es conjuntamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los objetos.

Estos son solo ejemplos de fenómenos del mundo real en los que para construir un modelo matemático que los represente, es necesario hacer uso de las funciones racionales. Para construir la función asociada con cada uno de los fenómenos planteados y muchos otros, resulta útil recordarlo que significa, la variación directa, la variación inversa, la variación conjunta y la variación combinada.

Variación directa: Si

 

 cuando 

se dice que y es directamente proporcional con x.

Variación inversa: Si

 cuando 

se dice que y es inversamente proporcional con x.

Variación conjunta: Si

 cuando 

se dice que z es conjuntamente proporcional con x y con y.

Variación combinada: Si

 cuando 

se dice que z es directamente proporcional con x e inversamente proporcional con y.

En todos los casos a la k se le llama constante de variación o constante de proporcionalidad.

Como parte de la introducción se le dará solución al primer problema planteado, en el cuál como se observará es necesario utilizar un modelo en el que se usa una función racional. También algunos de estos fenómenos serán modelados a través de una función, pero antes se trabajarán las generalidades de las funciones racionales, siendo éstas: el dominio, la gráfica y el rango.

Situación que da lugar a una función racional

La ley de Boyle dice que cuando una muestra de gas se comprime a una temperatura constante, la presión del gas es inversamente proporcional al volumen del mismo:

  1. De una función que modele la ley de Boyle

  2. Construya la gráfica considerando que k=1

  3. Que ocurre cuando el volumen aumenta

Solución:

a) Supongamos que p represente a la presión del gas y que v representa el volumen, ahora si recordamos la variación inversa, obtenemos que:

donde k es la constante de proporcionalidad. A continuación con el fin de manejar la notación de funciones, establecemos las siguientes equivalencias. Supongamos que f(v)representa la presión del gas y que v representa el volumen, luego la función es:

como el volumen no puede ser cero ni negativo, entonces el

b) La gráfica de la función es:

c) En la gráfica observamos que cuando el volumen aumenta la presión del gas disminuye

Gráfica, Dominio y Rango de Funciones Racionales

A continuación se dan las características generales para cada una de estas funciones, se plantean varios ejemplos de funciones racionales en las que se da el dominio, se construye su gráfica y se indica el rango para cada una de ellas y posteriormente se les da solución a algunos de los problemas indicados al inicio de esta sección.

Las funciones racionales son de la forma 

en las que p(x) y q(x) son funciones polinomiales, el dominio para estas funciones es 

es decir: son todos los números reales excepto los valores de x para los que la función q(x) es cero. El rango de la función Rf es el intervalo que la gráfica cubre sobre el eje Y. 

Antes de iniciar los ejemplos continuaremos haciendo uso de las translaciones y rotaciones (c>0) y además se recuerdan:

indica desplazar c unidades la función f(x) hacia arriba.

indica desplazar c unidades la función f(x) hacia abajo.

indica desplazar c unidades la función f(x) hacia la derecha.

indica desplazar c unidades la función f(x) hacia la izquierda.

indica reflejar la función f(x) con respecto al eje X.

indica reflejar la función f(x) con respecto al eje Y.

indica alargar verticalmente la función f(x), por un factor k, alejándose del eje X.

indica contraer verticalmente la función f(x), por un factor k, hacia el eje X.

FUNCION RACIONAL

Una función racional es el cociente de dos funciones, p(x) y q(x)

donde p(x) y q(x) son funciones polinomiales y q(x) es una función diferente de cero; es decir,

Esto significa que todos aquellos valores de x que hagan posible que q(x)=0 no serán parte del dominio. Por ello, se dice que el dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales con excepción de aquellos valores que permitan que q(x)=0.

Estos son algunos ejemplos de funciones racionales:

Dominio, Rango y asíntotas de una función racional

Para determinar el dominio de una función racional, creo que podrás entenderlo con un ejemplo. Veamos:

Ejemplo 1.

Determina el dominio de la función 

Solución: Recuerda que el dominio de una función racional se caracteriza por ser el conjunto de todos los reales con excepción de aquellos valores que hagan cero a la función q(x), es decir el denominador.

 Tratemos de relacionar que este es un "modelo general", vamos a ubicarnos en el denominador, ya que es la parte que nos interesa para obtener el dominio de esta función. Ahora bien, si el denominador lo igualas a cero, significa que debemos escribir q(x)=0, es decir si queremos saber el valor de x, cuando este se hace cero, escribirnos x-2=0, haciendo las operaciones de despeje que ya utilizas tienes que x=2, con este valor decimos: el dominio de la función (de arriba) son todos los reales excepto el dos, representado de la siguiente manera: 

¿Como sería la gráfica?

¿Donde está ubicado x=2?

Está punteado porque no siempre se dibuja, esto te debe de ayudar para que analices como se comportan las ramas de la gráfica,

Observa que si alejamos nuestro zoom, del area de la gráfica, (observa la escala) ¿que sucede con las ramas de la función?

Pareciera que se juntan las ramas negras con la roja punteada, y las otras se juntan con el eje x. ¿crees que la rama que estan sobre el eje x llegan realmente a juntarse?

Para verificar esto puedes dar valores a la función es decir que x=1000000

la función evaluada en 1000000 da como resultado 0.000003, (y=0.000003)
Se va acercando al cero pero no es CERO.

Prueba evaluando con más valores y comprueba que la rama nunca va a tocar al eje x. 

Si avanzas por la gráfica, sobre el eje x de izquierda a derecha, la rama se sube y la otra viene de abajo hacia arriba y gira hacia la derecha.

Ubiquemonos en las que estan verticales.

La recta x=2 (linea vertical roja punteada o discontinua), será nuestro parteaguas.

El dominio son todos los reales excepto donde se hace cero el denominador de la función.

Veamos otro ejemplo

Ejemplo 2:

Determina el dominio de la función:

Solución: El denominador es 

 que igualaremos a cero:

despejando a x obtenemos dos valores:

¿que significan estos valores?

Observa la gráfica:

Alejando un poco el zoom de la gráfica (observa la escala)

¿Como obtendrías el dominio a partir de la gráfica?

El dominio son todos los reales excepto donde pierde continuidad la gráfica (o se corta la gráfica) en los valores x=2,-2. Que se escribe de la siguiente manera:

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