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Derivadas

El fundamento del cálculo diferencial es la derivada. La derivada es el ritmo de cambio de una función en un punto. ¿Que qué es una función? Por ejemplo, en un vehículo con aceleración constante de 3.600 km/h, significa que cada segundo nuestra velocidad aumenta un kilómetro por hora. Nuestra función aceleración será f(x)= 3.600x. En el primer segundo nuestra velocidad es de 1 km/h, en el primer minuto será de 60km/h, así sucesivamente.

El concepto de derivada, como herramienta matemática, se esconde bajo las relaciones que las cosas tienen entre sí. Por ejemplo la tasa de natalidad respecto a la renta media, el ritmo de consumo de combustible en un avión respecto a su aceleración, etc. Para entender el concepto de derivada (que es en principio un concepto intuitivo) necesitamos entender las reglas de diferenciación. Vamos a ello.

Imaginemos una cuesta o plano inclinado. ¿Por qué un plano inclinado está inclinado?Pues porque según avanzamos por él, nuestra altura cambia en relación con la distancia horizontal que recorremos. Esta relación la denominamos pendiente. Si para subir 30 metros de altura recorremos 100 metros en horizontal, la pendiente es de 0,30. Si al recorrer una distancia no subimos ni bajamos, la pendiente es igual a cero, y si descendemos la pendiente es negativa.

En un recorrido el menor esfuerzo se hace cuando el conjunto de pendientes de un trayecto es cero o se aproxima a cero. Pero no siempre nos vamos a encontrar cuestas rectilíneas, sino curvas. ¿Cuál es la pendiente de una curva? En 1629, Fermat respondió diciendo que la pendiente de una curva en un punto es la pendiente de una recta tangente a esa curva en ese punto. Por su parte, René Descartes desarrolló independientemente su propio método para hallar la pendiente de una curva. Lo que nos recuerda a lo que posteriormente sucedió con el cálculo diferencial entre Isaac Newton y Leibniz (pero en este caso no se llevaban tan bien).

Es como si la historia estuviera madura para que estos cálculos se revelaran, e incluso por si las moscas, con redundancia (parejas de matemáticos hacían el mismo descubrimiento de forma separada).

¿Cómo se halla la pendiente en un punto de una curva? Cogiendo otro punto (cualquiera) en la curva y uniendo ambos por una línea recta. Cuanto más vayamos acercando nuestro segundo punto al original (que no podemos mover), parece que esa recta se va volviendo tangente a la curva en el punto original. Por tanto, la pendiente de la curva es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto (interpretación geométrica de la derivada).

El valor límite de la aproximación es la derivada en ese punto, o sea, su "cambio instantáneo" en ese punto.

El "cambio instantáneo" es más fácil de ver si pensamos en la velocidad. La velocidad es la tasa de cambio del espacio con respecto al tiempo. Si tenemos una velocidad, la podemos medir sabiendo el tiempo que pasa entre dos localizaciones. Si esas dos localizaciones se aproximan infinitesimalmente, tendremos la velocidad instantánea.

Como vimos antes, la pendiente es un cociente entre el componente vertical y el componente horizontal. Si la aproximación es infinitesimal, el cociente va a ser entre un número chiquitito y otro número chiquitito. Los números chiquititos se expresan con la letra delta ("incremento de "). Pero como estos números son taaan chiquititos, son prácticamente cero y en lugar de la delta, ponemos una letra "d". Ahora, sabemos que en el eje de las abscisas están las equis y en el de ordenadas las i griegas, por tanto, el cociente se representa como:

dy/dx

Que se lee "derivada de y con especto a equis".

Hallar la derivada en cada punto significa hallar una función derivada. Imagínate: se puede derivar una derivada. Es decir, hallar la tasa de cambio instantáneo de la tasa de cambio instantáneo de una función. Es más, puedes hacer derivadas sucesivas hasta que no queda ningún cambio y todo da cero.

La función derivada de una recta es una constante (la pendiente de esa recta). La función derivada del seno es el coseno, etc. Le debemos la vida a que no exista aleatoriedad. Es decir, si una recta tuviera distintas pendientes en cada punto, probablemente no existiríamos.

Existen reglas irrompibles e incuestionables. Por ejemplo, la regla de la suma: la derivada de una suma, es la suma de las derivadas (que es un conocimiento innato). La regla del producto: la derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función sin derivar por la derivada de la segunda más la segunda función sin derivar por la derivada de la primera.

d(u*v) = u*dv + v*du

Fórmula que nos sirve para derivar cualquier función polinómica.

Tabla de Derivadas

TABLA DE DERIVADAS

FUNCIÓN

FUNCIÓN DERIVADA

 

FUNCIÓN

FUNCIÓN DERIVADA

Y = k

Y' = 0

Y = x

Y' = 1

Y = u + v + w

Y' = u' + v' + w'

Y = u·v

Y' = u·v' + u'·v

         u

Y = ——

         v

        v·u' – v'·u

Y' = ——————

             v2

Y = Logb u

         u'

Y' = ——· Logb e  (*)

         u

Y = un

Y' = u'·n·un–1

Y = Ln u

          u'

Y' = ——

          u

Y = ku

Y' = u'·ku·Ln k             (*)

Y = eu

Y' = u'·eu

 

 

 

 

Y = sen u

Y' = u'·cos u

Y = cosec u

Y' = –u'·cosec u·cotg u

Y = cos u

Y' = –u'·sen u

Y = sec u

Y' = u'·sec u·tg u

Y = tg u

Y' = u'·(1 + tg2 u)     (**)

Y= cotg u

Y' = –u'·cosec2 u

Y = arsen u

               u'

Y' = ——————

           ————

        √ 1 – u2

Y = arcosec u

                –u'

Y' = ————————

                ————

        |u|·√ u2 – 1

Y = arcos u

              – u'

Y' = ——————

           ————

        √  1 – u2

Y = arsec u

                 u'

Y' = ————————

                ————

        |u|·√  u2 – 1

Y = artg u

             u'

Y' = ————

         1 + u2

Y = arcotg u

           –u'

Y' = ————

         1 + u2

 

 

 

 

Y = uv

Y' = v'·uv·Ln u+v·uv–1·u'

 

 

 

 

 

 

Y = f(x) => LnY = Ln f(x) => (Y'/Y) = (Ln f(x))' => Y' = Y·(Ln f(x))'

(*)  Ln k = 1/(Logk e)        ;      (**) = u'/(cosu) = u'·secu  

 u,v,w son funciones de x  ; u' es la derivada de u respecto de x  ; k es una cte ; Ln es Log base e ;  n y b son números racionales ; |u| es valor absoluto de u.

             TABLA DE INTEGRALES

FUNCIÓN

FUNCIÓN INTEGRAL

 

FUNCIÓN

FUNCIÓN INTEGRAL

∫ k du = k ò du

k · u

∫ k u(x) dx

∫ u(x) dx

∫ (u ±  v ±  w) du

∫ u dx  ± ∫  v dx  ± ∫  w dx

∫ un du

  un+1

 ———

  n+1

∫ u dv

u · v – ∫ v · du
(intg por partes)

∫ f (kx) dx

   1

  —· ∫ f(u) du

   k

      du

∫  ——

       u

Ln |u|

∫ eu du

eu

∫ ku du

    ku

 ———    ;  k > 0 ; k ¹ 1

  Ln k

      —

 ∫ √ u   du

  u3/2      2·u3/2

 ——— ———

   3/2          3

∫ sen u du

cos u 

∫ cos u du

sen u du

∫ tg u du

Ln sec u = – Ln cos u

∫ cotg u du

Ln sen u

∫ sec2 u du

tg u

∫ cosec2 u du

cotg u

∫ sec u · tg u du

sec u

∫ cosec u · cotg u du

cosec u

∫ sec u du

Ln (sec u+tg u)=Ln tg (u/2)

∫ cosec u du

Ln tg (u/2)

∫ sen2 u du

(½) u – (¼) sen (2u)

∫ cos2 u du

(½) u + (¼) sen (2u)

∫ tg2 u du

u + tg u

∫ sec2 u du

tg u

     sen u

∫   ————· du

    cos2 u

sec u

     cos u

∫   ————· du

    sen2 u

cosec u

           du

∫   ——————

       —————

    √ 1 – u2  

arsen u = –arcos u

       du

∫   ————

     1 + u2

artg u = –arcotg u

        du

∫   —————

     u2 + k2

 1

 —· artg (u/k)

  k

        du

∫   ————

     u2 – k2

  1             u – k

 ——· Ln  ————

 2k            u + k

        du

∫   —————

     k2 – u2

  1              k + u

——· Ln ————

  2k            k – u

           du

∫   —————

      ————

   √  k2 + u2  

                —————

Ln (u + √ k2 + u2 )

           du

∫   ——————

       —————

    √  k2 – u2

             u

arsen  

             k

           du

∫   ——————

         ————

   √ u2 – k2  

     1                       u

–  —·  arcosec  ——

     k                       k

 

 

 

 

(***) En todas las integrales hay que sumar la cte de integración ; k є R ; n є Q ;  u, v, w  funciones de x

Derivadas trigonométricas

Es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x).

A  continuación mencionare dos de las funciones trigonométricas derivadas:

Derivada de la funcion seno

La Derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función.

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}

Por tanto si f(x) = sin(x)

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}

A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

Reordenando los términos y el límite se obtiene

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}

El valor de los límites

\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}

Por tanto, si f(x) = sin(x),

f'(x)=\cos(x) \,

Derivada de la funcion coseno

La derivada del coseno de una función es igual a menos seno de la función por la derivada.

Si f(x) = cos(x)

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}

A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), se puede escribir

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}

Operando se obtiene

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}

El valor de los límites

\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

f'(x)=-\sin(x) \,

Palabras derivadas

La derivación consiste en la crear palabras añadiendo un prefijo y/o sufijo. Los prefijos y sufijos son elementos gramaticales que no pueden aparecer libres (son morfemas trabados).

El PREFIJO precede al lexema, es átono y no modifica la categoría gramatical de la palabra, sólo el significado. Ej.: hacer ― des-hacer

El SUFIJO va después del lexema, es tónico y puede modificar la categoría gramatical o el género del lexema. Ej.: animar ― anima-ción; casa ― cas-erón.

1.1.-DERIVACIÓN POR PREFIJACIÓN

1.1.1.- Prefijos negativos (‘negación, privación’)

 

a-, an-

negación

apolítico, analfabeto

anti-

contra, oposición

antiaéreo

contra-

opuesto, contrario

contraespionaje

des-, dis-, de-

negación o inversión del significado

desunión, disconforme, degenerar

ex-

privación / más allá

exculpar, exministro, extender

extra-

fuera de

extraordinario

in-, im-. i-

negación, privación / dentro

imbatible, ilegal / inmanente

 

1.1.2.- Prefijos "locativos" (‘situación, lugar’)

 

a-

aproximación

aterrizar, amerizar

ante-

delante, anterioridad en la posición

antesala, anteponer

circum-, circun-

alrededor

circunnavegar

entre-, inter-

situación intermedia, reciprocidad

entreplanta, interurbano

in-

dentro

inseminar, insuflar

infra-

debajo de, en la parte inferior

infrahumano

intra-

dentro de

intramuscular

peri-

alrededor

perímetro

pos-, post-

posterioridad en el espacio

postónico

pro-

en vez de, en lugar de

pronombre

sub-, so-

bajo, acción secundaria, inferioridad

subacuático, socavar

super-, sobre-, supra

encima de, superior

sobreprecio, supranacional

trans-, tras-

al otro lado, en la parte opuesta

trastienda, transportar

ultra-

más allá

ultramar

vice-

en lugar de, inmediatamente inferior a

vicepresidente

 

1.1.3.- Prefijos "temporales"

 

ante-

anterioridad en el tiempo

anteayer

per-

a través de

pernoctar

pos-, post-

posterioridad

posponer

pre-

antelación

preclásico

 

1.1.4.- Prefijos de "intensificación" ('carácter superlativo')

 

archi-

muy, el primero, preeminencia

archidiócesis

extra-

fuera de lugar, exageradamente bueno

extradivertido

hiper-

por encima de, superior

hiperacidez

hipo-

por debajo

hipotensión

re-,requete-

repetición, refuerza el sentido

rehacer, requetebién

super-

grado sumo, exceso

superproducción

ultra-

en alto grado

ultraligero

 

1.1.5.- Prefijos que indican cantidad, tamaño (suelen ser cultos y se emplean sobre todo en los campos tecnológico y comercial)

 

bi-,bis-,biz-

dos, doble

bicolor, bisabuelo

mini-

pequeño

minifalda

mono-,mon-

único, uno solo

monóculo

multi-

abundancia, variedad

multicolor

pluri-

multiplicidad, variedad

pluriempleo

semi-

medio, casi

semicírculo, semicurado

uni-

uno solo

unilateral

1.1.6.- Los "prefijoides"

Algunos prefijos acaban independizándose y constituyen una unidad léxica casi autónoma. Así ocurre con TELE-, AUTO-, FOTO-, EURO-, ECO-, CIBER- etc. Son elementos constitutivos de palabras, de origen griego o latino, que se usan como prefijos. Sin embargo, en algunos casos no pertenecen al paradigma de los prefijos, pues parece que tienen autonomía semántica y sintáctica. Acaban liberándose de su modelo etimológico, y, una vez liberados, se comportan como elementos organizadores de una serie.

Analicemos un ejemplo. El prefijo griego TELE- significa 'lejos' (ej.: televisión). Con el tiempo comienza a usarse solo con el significado completo de ‘televisión’. De este empleo independiente surgen palabras en las que el formante TELE- pierde su significado etimológico y adquiere el significado completo (‘televisión’). Ej. : telenovela, telenoticias, teleadicto.

1.2.-DERIVACIÓN POR SUFIJACIÓN

1.2.1.- Sufijos apreciativos (indican una connotación positiva o negativa, una apreciación subjetiva)

 

1.2.1.1.- Aumentativos

 

 -azo

aumentativo

perrazo

 

 golpe

porrazo

 

ponderación ( valoración )

artistazo

 

 valor despectivo

calzonazos

-ón,-ona

aumentativo

sillón

 

hipocorístico ( nombres propios )

Miguelón

 

repetición

preguntón

 

 despectivo

fregona

 

 acción repentina

empujón

-ote, -ota

aumentativo

camarote

 

 peyorativo

gafotas

-udo

aumentativo, exceso

forzudo

que tiene forma de

ganchudo

 despectivo

melenudo

 ponderativo

concienzudo

 

1.2.1.2.- Diminutivos

 

-ito,-ita

disminución

casita.

 

 valor afectivo

monjita

 

se ha lexicalizado

pajarita

-ico 

Marcado carácter dialectal: Aragón, Murcia, Andalucía oriental). El femenino suele tener valor despectivo

casica mozica llorica.

-illo

afectividad

perrillo

 

 desafecto

articulillo

 

 lexicalizado

espinilla

-ín,-ina, -ino, -iño

moderado valor peyorativo

tontín

-ete, -eta

disminución

palacete

 

 burlesco

caballerete

-uelo,-uela

disminución

callejuela

 despectivo

reyezuelo

 jocoso, afectivo

ladronzuelo

1.2.1.3.- Peyorativos o despectivos

Además de algunos aumentativos y diminutivos, hay sufijos específicamente peyorativos o despectivos.

-aco

libraco

-acho

hombracho

-ajo

pequeñajo

-ales

frescales

-astro

medicastro

-ato

niñato

 

1.2.2.- Sufijos no apreciativos

A partir de distintas bases léxicas (sustantivos, adjetivos, verbos) con la adición de un sufijo podemos dar lugar a la formación de derivados nominales, a la formación de adjetivos, verbos y adverbios.

1.2.2.1.- Formación de sustantivos

 

-ado, -a

acción, acto, efecto

lavado, novatada

 

 golpe

estocada

 

 grupo de

campesinado

 

cargo, lugar en el que se desempeña

principado

-aje

medida

kilometraje

 

 abstractos

peregrinaje

 

 labor, oficio

caudillaje

-ancia /-encia /-anza

abstractos de cualidad

tolerancia, bonanza

-ante /-ente

agente

delineante

-ar,-al

colectivo 

cafetal

 

nombre del árbol que da el fruto

peral

 

lugar poblado de esos árboles

olivar

- ción

acción de

recaudación

 

 colectivo

señalización

-dad /-tad

abstractos de cualidad

fealdad, lealtad

-dero

lugar que sirve para

abrevadero

-dor, a

agente

secuestrador

 

 máquina

lavadora

-dura /-ura

acción, efecto

torcedura

 

 conjunto

fritura

-ería

lugar de venta

lechería

 

abstracción con matiz despectivo

palabrería

-ero

profesión

lechero 

 árbol

limonero  

 

 utensilio

billetero

 conjunto de

refranero

-ez,-eza

abstracto de cualidad

robustez, belleza

- ía

acto propio de

grosería

 

 calificación

medianía

-ido

ruido animal

ladrido

-ismo

abstracto de cualidad

virtuosismo

 

 movimiento

felipismo

 

 actividad cultural

coleccionismo

-ista

agente, seguidor de

guionista, marxista

-mento /-miento

acción de

conocimiento, juramento

-menta

conjunto de

osamenta

1.2.2.2.- Formación de adjetivos

-al

relativo a

musical

-ano

natural de (gentilicio)

zamorano

 

que está  “---“

cercano

-ante /-ente /-iente

agente, elemento activo

brillante, degradante

-ble /-able /-ible

posibilidad de

 convertible

 

 cualidad

amable, tratable

-ario

compuesto por

fragmentario

 

 relativo a

tributario

-dor

agente

saltador, bonceador

-enco,-ento

que tira a

amarillento, azulenco

-ense

perteneciente a, cualidad

circense

 

 natural de

abulense

-eño

natural de

cacereño

-ero

perteneciente a

algodoneros

-és

natural de

montañés

-esco

cualidad peyorativa

burlesco

- iento

cualidad

hambriento

-il

cualidad

varonil

-ivo

agente

abusivo

-izo /-dizo

propensión

enamoradizo

-oide

parecido a

humanoide

-oso /-uoso

cualidad

odioso, respetuoso

 

 abundancia

canoso, sudoroso

-usco

afinidad, tira a

parduzco

1.2.2.3.- Formación de verbos

-ar

taponar

-ear

relampaguear, amarillear

-ecer

humedecer

-izar

obstaculizar, impermeabilizar

-ificar

purificar

1.2.2.4.- Formación de adverbios

- mente

adverbios de modo

naturalmente

1.2.3.- Los interfijos

Algunos lingüistas han descrito una unidad marginal: los interfijos. Son unos elementos átonos sin función gramatical ni valor significativo; tan sólo tienen una función morfofonemática, pues sirven de enlace entre la base léxica y , fundamentalmente, algunos sufijos. Algunos los consideran como parte de los sufijos.

En algunas ocasiones actúan sólo como elementos antihiáticos, o sirven de ayuda para una más fácil pronunciación de los derivados.

Ej.: cafe-c-ito, panecillo, carnicero, pan-ad-ero, espald-ar-azo, hum-ar-eda

Derivadas Parciales

Definición

En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable. 
Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran mas variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.

Si , las primeras derivadas parciales de  respecto de x e y son las funciones  definidas como 

siempre que el límite existe.

Demostración

Recordemos que la derivada de una función de una variable se define como : 

ahora como tenemos la función   lo que hacemos es fijar el valor de una de las variables a una constante, de esta manera analizamos el cambio en la función con respecto solo al cambio de una de sus variables.

Entonces hacemos   aquí lo que hicimos fue fijar el valor de  , y al hacer esto tenemos una función   que depende sólo de  .

Derivamos la función   


como h(x)=f(x,b) entonces h(x+\Delta x)=f(x+\Delta x,b) y cambiamos la expresión anterior, 


Entonces tenemos que la derivada de la función f(x,y) cuando fijamos  y cambiamos  es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje x) 

Derivadas Parciales

Derivadas parciales de una función de dos variables

En las aplicaciones en que intervienen funciones de varias variables suele presentarse la cuestión de como resulta afectada la función por cambio en una de sus variables independientes. Se puede contestar esta pregunta considerando por separado esa variable independiente. Por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador en una experimento, un químico puede realizar varias veces el experimento, con distintas cantidades de ese catalizador cada vez, mientras mantiene constantes todas las demás variables, tales como temperatura y presión. Un procedimiento análogo sirve para encontrar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus varias variables independientes. Este proceso se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f respecto de esa variable independiente elegida.


DerivParciale.jpg

Notación

Dada z=f(x,y), sus derivadas parciales f_x,f_y se denotan por 

y

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto (a,b) se denotan por 

y

Interpretación Geométrica

Las derivadas parciales de una función de dos variables z=f(x,y) tienen una interesante interpretación geométrica. Si y=y_0,\;z=f(x,y_0) es la curva intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=y_0.

Dz-dx-parcial.jpg

Por tanto,

f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}

da la pendiente de esa curva en el punto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)). Notar que tan lo la cura como la recta tangente están en el plano y=y_0. Análogamente,

f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}

da la pendiente de la curva intersección de z=f(x,y) con el plano x=x_0 en (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) como se ve en la siguiente figura,

Dz-dy-parcial.jpg

Lo que viene a decirnos que los valores de \frac{\partial z}{\partial x} y \frac{\partial z}{\partial y} en el punto (x_0,y_o,z_0) dan las pendientes de la superficie en las direcciones del eje x y el eje y.

Orden de las derivadas parciales

El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivada mayor de orden que aparezca en dicha ocasión.

Ejemplo:

1. \frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}= 0
2. u\times \left ( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\right )= 0

Derivadas Parciales de Orden Superior

Tomando la función derivada de una función es posible a veces volver a derivar aquella. Esto es análogo a calcular la segunda derivada de una función de una variable cuando se deriva dos veces con respecto a la misma variable; las derivadas obtenidas se llaman derivadas parciales segundas.


Si f es una función de 2 variables entonces \frac{\partial f}{\partial x} \; , \frac{\partial f}{\partial y} son a su vez funciones, por lo que tiene sentido calcularle sus derivadas parciales.


A las derivadas

f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial^2f}{\partial x^2}
f_{yx} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial^2f}{\partial y^2}
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}


Ejercicios de derivadas

Ejercicios resueltos de derivadas. Ejercicios propuestos con la solución.

Ejercicios resueltos y explicados

Derivadas ejercicios

Derivadas ejercicios

Ejercicios de derivadas con las soluciones

Derivadas ejercicios

Derivadas ejercicios

Magnitudes Derivadas

Magnitudes físicas derivadas de las formulas elementales:

Magnitud derivada

Ecuación física

Formula dimensional

1

Área

A=(longitud)2

2

Volumen

V=(longitud)3

3

Velocidad

Velocidad =distancia x tiempo

4

Aceleración

Aceleración = velocidad x tiempo

5

Fuerza

Fuerza= masa x aceleración

6

Trabajo

Trabajo= fuerza x distancia

7

Potencia

Potencia = trabajo/tiempo

8

Presión

Presión = fuerza / área

9

Frecuencia

Frecuencia = 1/tiempo

10

Densidad

Densidad = masa/volumen

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