Ángulos: ¿Qué es un Ángulo? Tipos, Clasificación, Clases, Definición

En Geometría y Trigonometría, ángulo (por completo, ángulo plano) es la figura formada por dos rayos al compartir un campo común o punto final, llamado cima del ángulo. La magnitud del ángulo es la “cantidad de rotación” que separe los dos rayos, y puede ser medida considerando la longitud del Arco circular barrida hacia fuera cuando un rayo se rota sobre la cima para coincidir con el otro. El término “ángulo” se utiliza alternativamente para la configuración geométrica de sí mismo y para su magnitud angular (que sea simplemente una cantidad numérica).

La palabra ángulo viene de Latino palabra angulus, significando “una esquina”. La palabra angulus es un diminutivo, del cual la forma primitiva, angus, no existe en Latín. En el latín angere, significa “comprimir una curva” o “estrangular”, en Griego ἀγκύλος (ankylοs), significa “torcido, curvado,” y en Inglés la palabra significa “tobillo"; todos están conectados con Proto-Indo-Europeo raíz *ank-, significando “doblarse” o “arquearon”.

¿Qué es un Ángulo?

Concepto de ángulo.

Se denomina ángulo a la sección del plano que queda comprendida entre dos semirrectas que se originan en un mismo punto, y están colocadas en distintas direcciones.



El punto en que se inician las semirrectas de denomina vértice del ángulo; en tanto que cada una de las semirrectas que lo delimitan, se denominan lados del ángulo.

Operaciones con ángulos.

Un ángulo es una magnitud; es decir que constituye una entidad con existencia física y espacial, por lo cual es susceptible de ser comparada con sus similares, y de que se realicen con los ángulos las operaciones aritméticas.

La verdadera índole de la magnitud que constituye un ángulo está conformada por el grado de inclinación existente entre sus lados, a partir del vértice.

Esa magnitud se mide con una unidad que se denomina grado, que se representa con el signo °; cuyos submúltiplos son 60 minutos y de éstos, 60 segundos. Los minutos y los segundos, se representan escrituralmente con los signos y ; de modo que la medida de un ángulo asume la forma: 48°15’20”, lo cual se lee 48 grados, quince minutos, veinte segundos.

Convencionalmente, la medida máxima de un ángulo es de 360°; que conceptualmente sería la correspondiente al ángulo determinado por una única semirrecta. De tal manera, el ángulo determinado por dos semirrectas trazadas sobre una misma recta, mide 180°; y cada uno de los 4 ángulos determinados por las perpendiculares que se cruzan, mide 90°.

Entre los instrumentos que se emplean en el estudio de la geometría, se utiliza para la medición de ángulos el que se denomina semicírculo graduado; precisamente porque es una pieza — actualmente construída en material plástico transparente, lo que facilita mucho su uso — con forma de medio círculo, sobre cuya curvatura se trazan las divisiones que corresponden de 0° a 180° y sus subdivisiones. Como este instrumento permite medir un ángulo trazado sobre papel y trasladarlo o trazarlo sobre otro, también suele denominársele transportador.

Igualdad de ángulos.

De acuerdo a lo anterior, la medida de un ángulo está dada por los grados, minutos y segundos que proyecte sobre el semicírculo graduado, colocando el centro o punto medio de su base sobre el vértice, y un lado sobre la base recta del semicírculo graduado; con lo cual el otro lado cruzará la curvatura del instrumento de medida, en el punto que suministre su abertura, sobre la escala graduada.

Por consiguiente, la igualdad de dos o más ángulos, resultará de tener la misma magnitud de apertura entre sus lados; sin que incida en forma alguna la longitud de los segmentos que constituyan sus lados.





La igualdad de dos ángulos puede expresarse por medio de la igualación de sus medidas, en cuanto si el ángulo A,B,C = 30° y el ángulo D,E,F = 30°, podrá escribirse que ABC = DEF.

Suma de ángulos.

La suma de dos o más ángulos puede realizarse ya sea en forma gráfica, o en forma aritmética. En el primer caso, se dibujan los ángulos sumandos uno a continuación del otro, con el mismo vértice; y el resultado de la suma será un nuevo ángulo comprendido entre los lados exteriores del trazado.

Para sumar ángulos en forma aritmética, deben sumarse por un lado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego tener en cuenta que como cada 60 segundos forman un minuto, y cada 60 minutos forman un grado, debe hacerse el correspondiente ajuste del resultado:

ABC = 30° 45’ 13” + DEF = 42° 45’ 53”

Suma:
30° + 42° = 72°
45’ + 45’ = 90’
13” + 53” = 66”

Reducción:
66” = 1’, 6”
90+1’ = 1°, 31’
Total: ABF = 72+1=73°, 31’, 6”




Resta de ángulos.

La resta — diferencia o sustracción — entre dos o más ángulos también puede realizarse ya sea en forma gráfica, o en forma aritmética. En el primer caso, se dibuja el ángulo minuendo (el mayor) y, dentro de él, el ángulo sustraendo (el menor), igualmente con el mismo vértice; y el resultado de la resta será un nuevo ángulo comprendido entre el lado superior (A-B) y el lado interior del trazado (A-E).

Para restar ángulos en forma aritmética, debe procederse en forma similar a la suma, restando por separado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego reducir el resultado como se hiciera en la suma.



Pero como puede ocurrir que los minutos o segundos del sustraendo sean más que los del minuendo, habrá que tomar 60 del nivel superior, reduciendo éste:

ABC = 42° 45’ 13” — DEF = 30° 55’ 53”

Conversión de ABC:
42° 45’ 13”
42° 45’=41°, 105°
105’ 13”=104°, 73°

Resta:
42° – 30° = 12°
104’ – 55’ = 49’
73” – 53” = 20”

Reducción:
No se requiere
Resultado:
ABE = 12°, 49’, 20”


Multiplicación de ángulos.

La multiplicación respecto de un ángulo, — al igual que la división — puede realizarse respecto de un número natural; pero es una operación que tiene sentido lógico en cuanto el resultado no sea superior a la medida máxima posible para un ángulo, que son 360°.

Como operación por método gráfico, la multiplicación de un ángulo determinado, por un número natural, no se diferencia de la suma; en cuanto se trata de sumar el ángulo a sí mismo, tantas veces como requiere el multiplicador: 2 veces para multiplicarlo por dos, 3 veces para multiplicarlo por 3, y sucesivamente. De la misma manera que para su multiplicación aritmética, es fácil advertir que esa operación gráfica queda limitada hasta que una nueva adición del ángulo a la resultante de las anteriores, determine que quede superpuesto con el primero de ellos.

La multiplicación aritmética de ángulos en la forma indicada — por un número natural, no necesariamente un entero — se realiza en forma similar a las operaciones anteriores; teniendo en cuenta la reducción de la resultante a un número de segundos y minutos no superior a 60, y asimismo que el resultado final no puede superar 360°, 0’, 0”:

ABC = 12° 45’ 13” × 5

Multiplicación:
12° × 5 = 60°
45’ × 5 = 225’
13” – 5 = 65”

Reducción:
225’ = 3°, 45”
65” = 1’, 5”

Resultado: 60°+3°=63°, 45’+1°=46’ Total: 63°, 46’, 5”


División de ángulos.

Lo expresado para la multiplicación es aplicable en cierta forma a la división aritmética de ángulos. La división de un ángulo en varias partes iguales, correspondientes a un número natural, puede realizarse subdividiéndolo en forma gráfica en la cantidad resultante de ángulos iguales.

La división aritmética de ángulos se realiza por el mismo procedimiento que la multiplicación, procediendo por separado con grados, minutos y segundos; con la particularidad de que para obtener resultados adecuados, deberán dividirse primero los segundos, llevándolos a un valor adecuado a partir de tomar minutos; y del mismo modo con los minutos, tomando grados. Finalmente, habrá de procederse a la reducción de la resultante a un número de segundos y minutos no superior a 60:


ABC = 125° 46’ 0” ÷ 5

Conversión previa:
46’, 0” = 45’, 60”

División:
60” ÷ 5 = 12”
45’ ÷ 5 = 9’
125° ÷ 5 = 25°

Reducción:

No se requiere

Resultado: 25°, 9’, 12”


Trazado de la bisectriz.

Se denomina bisectriz de un ángulo, a la línea que partiendo de su vértice, lo divide en dos ángulos iguales: bi-sectriz, dos sectores.

Para trazar en forma gráfica la bisectriz de un ángulo, se traza un arco con el compás haciendo centro en el vértice a una distancia aproximada de la mitad de la longitud de los lados, delimitando así dos segmentos de lado iguales. Luego, con la misma medida de arco en el compás, haciendo centro alternativamente en cada uno de los extremos de los sectores de lado antes marcados, se trazan dos arcos en la zona aproximada de la mitad del ángulo, de forma que se crucen. La bisectriz es la recta que une el vértice con el punto determinado por el cruce de estos dos últimos arcos.



Tipos de ángulos

1- Ángulos

Se toma un punto del plano y partiendo de ese punto, se dibujan dos semirrectas. A la abertura formada por las dos semirrectas se le llama ángulo.

Definición de ángulo

Se llama ángulo a la parte del plano delimitada por dos semirrectas que parten de un mismo punto llamado vértice. A cada semirrecta se le llama lado del ángulo.

  • Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.

  • El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.

2- Tipos de ángulos

Agudo < 90°

Recto = 90°

Obtuso>90°

2.1- Ángulos rectos

Un ángulo recto es un ángulo que mide exactamente 90°. Si te das cuenta, en la esquina del ángulo hay un símbolo especial, una caja. Si ves ese símbolo, el ángulo es recto. No se suele escribir el 90°. Si ves la caja en la esquina ya te están diciendo que es un ángulo recto.

Un ángulo recto puede estar en cualquier orientación o giro, lo que importa es que el ángulo interior sea 90°.

2.2- Ángulos agudos

Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90°.

Acuérdate de fijarte en cuál de los dos ángulos es al que se refiere uno. Si el ángulo pequeño es menor que 90° entonces ese es agudo.

2.3- Ángulos obtusos

Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90° pero menos de 180°.

Acuérdate de fijarte en cuál de las dos partes es a la que se refiere uno. El ángulo más pequeño entre las líneas es obtuso si mide entre 90° y 180°.

3- Algunas cosas importantes que debes saber

-Los ángulos que miden 180° se denominan ángulos extendidos o llanos.

  • Los ángulos que miden más de 180° y menos de 360° se denominan ángulos cóncavos.

  • Los ángulos que miden 360° se denominan ángulos completos.

  • Los ángulos pueden nombrarse utilizando letras griegas. Por ejemplo:

4- Cómo medir ángulos usando el transportador

Medir un ángulo significa determinar su amplitud y, para hacerlo generalmente se utiliza el transportador.

Un transportador es un instrumento en forma circular o semicircular y graduado angularmente.

Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Un grado corresponde a la medida del ángulo que se forma cuando una circunferencia se divide en 360 partes iguales.

Los grados indican la separación de los lados del ángulo. Mientras más separados están los rayos que forman el ángulo, mayor es la cantidad de grados que este mide.

4.1- Para medir ángulos utilizando el transportador semicircular debes:

1° Colocar el trazo recto del transportador sobre uno de los lados del ángulo.

2° Hacer que el punto medio de ese trazo coincida con el vértice del ángulo.

3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador. Si el ángulo está abierto hacia la izquierda debes fijarte en la escala externa y si está abierto hacia la derecha en la escala interna.

4.2- Para medir ángulos utilizando el transportador circular debes:

1° Colocar uno de los lados del ángulo frente al 0°.

2° Hacer coincidir el centro de la circunferencia con el vértice del ángulo.

3° Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador.

Clasificación de los ángulos

Según su medida

Ángulo agudo

ángulo agudo Mide menos de 90º.

Ángulo recto

ángulo recto Mide 90º.

Ángulo obtuso

ángulo obtuso Mide más de 90º.

Ángulo llano

ángulo llano Mide 180º.

Ángulo convexo

ángulo obtuso Mide menos que un ángulo llano.

Ángulo cóncavo

ángulo cóncavo Mide más que un ángulo llano.

Ángulo nulo

ángulo nulo Mide . Las semirrectas que forman los ángulos coinciden.

Ángulo completo

ángulo Completo Mide 360º.

Ángulo negativo

ángulo negativo Mide menos de .

Los ángulos negativos giran en el sentido horario, es decir, en el sentido en que se mueven las agujas de un reloj.

Un ángulo negativo lo podemos transformar en un ángulo positivo sumándole 360º.

-30º = 360º - 30º = 330º

Ángulo mayor de 360°

ángulo mayor de 360ºMide más de una vuelta.

Un ángulo de 390º = 360º + 30º, si lo representamos coincide con un ángulo de 30º.

Un ángulo de 750º = 2 · 360º + 30º, si lo representamos coincide con un ángulo de 30º.

Si queremos pasar un ángulo a la primera vuelta, dividimos el ángulo entre 360º:

El cociente es el número de vueltas que da.

El resto es ángulo resultante que corresponde a la primera vuelta.

Razones

Clasificación de ángulos según su posición

Ángulos consecutivos

Ángulos consecutivos

Son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes

Ángulos adyacentes

Son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro.

Forman un ángulo llano.

Ángulos opuestos por el vértice

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

Los ángulos son iguales.

Los ángulos son iguales.



Clasificación de ángulos según su suma

Ángulos complementarios

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

Ángulos suplementarios

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.







Ángulos entre paralelas y una recta transversal

Ángulos correspondientes

Ángulos correspondientes

 

Los ángulos son iguales.

Ángulos alternos internos

Ángulos alternos internos

 

Los ángulos 2 y 3 son iguales.

Ángulos alternos externos

Ángulos alternos externos

 

Los ángulos 1 y 4 son iguales.

Clases de ángulos

Nombre

Definición

Figura

Ángulo recto

Mide 90°

Ángulo agudo

Mide menos de 90°

Ángulo obtuso

Mide más de 90°

Ángulo extendido

Mide 180°

Ángulo completo

Mide 360°

ÁNGULOS COMPARATIVOS

 

Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados dan 90°.

Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 90°

Ángulos suplementarios: Son aquellos que sumados dan 180°.

Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 180°

Ángulos consecutivos o contigüos: Son aquellos que tienen un lado común.

Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen una lado en común y el otro lado sobre una misma recta. Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios.

Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando al prolongar los lados de un ángulo se forman los lados del otro ángulo.

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

 

Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo:

Ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.

Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos externos: Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:

1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.

3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

Ángulos entre paralelas

L1 / / L2

Propiedades que se obtienen son:

b=e ; a=f ; g=g ; d=h

Ángulos correspondientes

g=f ; d=e

Ángulos alternos internos

b=h ; a=g

Ángulos alternos externos

b=d ; g=a ; e=h ; f=g

Ángulos opuestos por el vértice



TEOREMAS DE ÁNGULOS

  • Todo circulo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.

  • Los ángulos básicos del triangulo isósceles son iguales.

  • Los ángulos opuestos por el vértice que forman al cortarse una recta son iguales.

  • Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los del otro triángulo, ambos triángulos son congruentes.

  • Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Los triángulos se pueden clasificar según dos criterios: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.

  • Según la medida de sus lados hay 3 tipos de triángulos. Estos son:

     

    Equilátero

    Es el único triángulo regular.

     

    Isósceles
    El lado distinto se llama base = AB.

     

    Escaleno

    • Según la medida de sus ángulos, también encontramos 3 tipos de triángulos. Ellos son:

       

      Acutángulo

      Sus 3 ángulos interiores son agudos.

       

      Rectángulo

      < CAB = 90° 
      < ABC y < BCA = agudos. Lados que forman < recto se llaman catetos. El otro, hipotenusa.

       

      Obtusángulo

      < CAB = obtuso. < ABC y < BCA = agudos.

      ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIÁNGULO

      Las líneas notables del triángulo o sus elementos secundarios son:

      alturas (h)

      bisectrices (b)

      simetrales (s)

      transversales de gravedad (t)

      medianas

      Alturas

      Son segmentos perpendiculares (segmentos que forman ángulos de 90º) a un lado o a su prolongación desde el vértice opuesto. La altura se designa con la letra h y un subíndice que señala el lado del cual se levanta.
      Un triángulo tiene tres alturas, una por cada lado (ha, hb, hc). 
      El punto O donde concurren las tres alturas se llama Ortocentro (O).
      El lado y su altura forman un ángulo de 90º.

      'Ángulos y triángulos'

      Bisectrices
      Es la recta que  dimidia un ángulo; es decir, es la recta que divide un ángulo en su mitad. Un triángulo tiene 3 bisectrices, uno por cada ángulo y se designan normalmente por la letra b  y un subíndice que señala el respectivo ángulo interior.
      El punto O donde concurren las tres bisectrices se llama incentro. El incentro corresponde al centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

      'Ángulos y triángulos'

      Simetrales o Mediatrices
      Corresponden a rectas perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo en su punto medio.
      Las tres simetrales se cortan en un punto llamado (O) circuncentro. La circunferencia pasa por los tres vértices.
      Siempre debe tenerse en cuenta que:
      Si existe una simetral, existe un ángulo recto y un punto medio.
      La simetral no siempre pasa por el vértice opuesto.
      En todo triángulo se puede circunscribir una circunferencia cuyo centro es el circuncentro.

      'Ángulos y triángulos'

      Transversales de gravedad 
      Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene tres transversales de gravedad, una por cada lado y se designan normalmente con la letra t y un subíndice que señala el lado (ta,  tb, tc ).
      El punto donde se intersectan las tres simetrales se llama baricentro y se representa con la letra G.

      'Ángulos y triángulos'

      Medianas
      Son los segmentos que unen directamente los puntos medios de dos lados del triángulo, de dos en dos.
      La mediana se designa con la letra m y un subíndice que indica el lado sobre el cual se proyecta.
      La mediana tiene una longitud igual a la mitad del lado paralelo.
      FD  =  ½ AC;      DE  =  ½ AB;     EF  =  ½ CB 
      Al trazar las tres medianas de un triángulo, éste queda dividido en cuatro triángulos congruentes.

Definición de ángulo

Se llama ángulo a la abertura entre dos rectas que se encuentran.

Las rectas se llaman lados del  ángulo y el punto donde se encuentran, vértice del ángulo, su símbolo es “Ðque se lee “ángulo...” y para el plural “Ðs” que se lee “ángulos...”.

 

Maneras de nombrar a un ángulo.- Un ángulo puede nombrarse mediante tres letras mayúsculas de manera que la letra del vértice quede en medio de las otras dos. También podemos usar una letra minúscula, una griega o un pequeño número en el interior de la abertura y la forma menos usual es mediante una letra mayúscula en el vértice del ángulo.  

                                                        Se lee  Ð ABC o Ð CBA              Se lee  Ð a                    Se lee  Ð A

 

Medida o Magnitud de un Ángulo.- Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. La unidad de medida que usaremos es el grado, que es un ángulo cuya medida es una de las 360 partes en que se divide una circunferencia. Además el grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Este sistema es llamado sexagesimal y los símbolos de sus unidades son:

Grado: º                                  Minuto: ’                      Segundo: ’’

1º = 60’                       1’ = 60’’

Ángulos iguales.- Son aquellos ángulos cuyas medidas son las mismas o sea tienen el mismo número de grados.

Bisectriz de un ángulo.- Es la recta que divide al ángulo en dos partes igualesEn la figura,  BC es bisectriz del Ð ABD entonces Ð ABC ÐCBD.

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